Probabilidad y pocha (I)

Estos días de Navidad he tenido ocasión de jugar alguna que otra partida de pocha con mis amigos.

La pocha es un juego de naipes en el que se trata de adivinar cuántas bazas te vas a hacer y se juega con las mismas normas que el tute.

Si aciertas el número de bazas que vas a ganar, sumas una cantidad fija de 10 puntos más 5 puntos adicionales por cada una de las bazas.

Si por el contrario fallas en tu predicción, pierdes 5 puntos por cada baza de más o de menos que hayas hecho.

En las primeras rondas del juego, sólo se reparte una carta a cada uno de los jugadores.

Siempre he pensado que uno de mis amigos “hacía cosas muy raras” en esta fase determinada del juego, que se regía (en mi opinión) bastante por reglas de la probabilidad. Cuando se lo dije me dijo que la probabilidad había que calcularla, y que quizá no era tan fácil como yo me lo estaba planteando.

Dicho y hecho. Aquí estoy para tratar de calcular alguna probabilidad en esta fase en la que cada jugador tiene sólo una carta en la mano.

Probabilidad de ganar la baza con un as que no es del triunfo, y saliendo de mano

La situación no es cómoda. Se dan las cartas, y descubres que tú tienes un as y sales de mano. Nadie te puede ganar a menos que tengan un triunfo en la mano.

¿Apostarías a que haces esa baza?

En una partida de 5 jugadores (la más común en mi grupo de amigos) hay repartidas 5 cartas. Mi as, y otras cuatro. Además, hay un triunfo descubierto: “el pinte”.
¿Cuál es mi probabilidad de ganar? Para que yo gane, nadie tiene que tener un triunfo.

Número de cartas que no me importa que los demás tengan: 26

Son 3 palos enteros (los que no son triunfo) 9·3= 27 cartas menos una carta que no cuenta (mi as). En definitiva 27-1=26.

Número de personas que pueden repartirse estas cartas: 4 (los otros jugadores).

Casos favorables a mis intereses (ganar la baza): Son las variaciones de 26 elementos tomando 4.

Casos totales: Son las variaciones de 34 naipes (todos menos mi as y el triunfo que está descubierto) tomando 4.

O sea:

prob01.png

O sea, que teniendo el as de mano, únicamente ganaría la baza en un 32,24% de las ocasiones.

Mi intuición (fortalecida por la experiencia de las partidas que llevo acumuladas desde mis tiempos universitarios) me aconsejaba no apostar a que me haría una baza en esas circunstancias: ahora sé por qué es.

Nota: El cálculo de las variaciones se simplifica mucho con una hoja de cálculo. En concreto, con OpenOffice.org se puede utilizar la función PERMUT, que se puede usar para calcular permutaciones y variaciones (creo que sólo utilizamos el concepto Variación en nuestro país, los otros países utilizan el genérico de las Permutaciones y diferencian si entran en juego todos los elementos -nuestras permutaciones- o sólo algunos -nuestras variaciones-).

PERMUT
Returns the number of permutations for a given number of objects.
Syntax
PERMUT(Count_1; Count_2)
Count_1 is the total number of objects.
Count_2 is the number of objects in each permutation.

Probabilidad de ganar la baza con otra carta que no es del triunfo, y saliendo de mano

Si hemos visto que con el as no merecía la pena apostar a que gano la baza… todavía será peor para nuestros intereses aportar con una carta menor que el as. La probabilidad de éxito (ganar la baza) es también más pequeña.
Probabilidad de ganar con un cuatro del triunfo

Casos favorables: ¿Cuántas cartas no me importa que salgan? 27.
Son todas las de los tres palos que no son triunfos.

Casos totales: Hay 34 cartas para repartir entre los otros 4 (2 cartas ya están ocupadas, el pinte y el cuatro del triunfo que tengo yo).

prob02.png

Si quiero acertar, tendría que no pedir esa baza.

Probabilidad de ganar con un cinco del triunfo, y el triunfo no es el 4

En este caso, el no me importa que salgan 28 cartas (las 27 de los tres palos que no son triunfo y el 4 del triunfo).

prob03.png

¿Tendría que pedir esa baza en este caso?

La respuesta en este caso, como casi siempre en el juego, el amor la guerra y la empresa es que DEPENDE.

¿Qué es lo que importa de verdad? ¿Acertar?

¡No para mí!

Lo importante es ¡GANAR! ¡Sumar puntos!

¡LA PASTA!

¿Cuál es el “valor esperado” para mí de esta baza?

Si apuesto que hago baza y acierto, gano 15 puntos. Esto se da en un 44% de las ocasiones.
Si apuesto a que la hago y fallo, pierdo 5 puntos. Esto ocurre en un 56% de las ocasiones.
Si apuesto que no la hago (pido cero bazas) y por mala suerte me la llevo (44%) pierdo 5 puntos.
Por último, si no pido esa baza y no me la llevo (56%) gano 10 puntos.

O sea, si pido, podría esperar una media de:

V(apostar) = 15·0,4415 + (-5)·(1-0,4415) = 3,83 puntos
y si no pido:

V(no apostar) = -5·0,4415 + 10·(1-0,4415) = 3,38 puntos
Conclusión: Como el valor de “apostar” es mayor que el de “no apostar”, me conviene pedirme esta baza. Aunque fallaré más veces que las que acierte, saldré ganando (de media) en el número de puntos que aumente mi casillero.

Más combinaciones
¿Todavía tienes ganas de más después de haber llegado hasta aquí? Ningún problema, la hoja de cálculo trabaja por nosotros. Pego aquí un listado con todas las combinaciones posibles (siendo mano o llevando triunfo) con sus respectivas probabilidades de “hacer baza” y su “valoración en puntos”.

También se recogen las probabilidades cuando la pocha es de 4, 6 ó 7 personas en lugar de 5 jugadores.

probabilidad_pocha.pdf

Recordad que hemos hecho los cálculos sólo con los datos que vemos encima de la mesa. Si alguno de los compañeros resopla, hay tres que piden una determinada baza o todos dicen “No me la hago ni de coña”, nos están dando muchas más pistas que nos ayudarán a afinar nuestra apuesta.

2 comentarios en “Probabilidad y pocha (I)”

  1. Un tema: ¿se puede llevar esta chuleta a la siguiente partida?

    Supongo que aquí se da una de las diferencias entre un físico, un matemático y un ingeniero. El primero jugará un número suficientemente grande de partidas para observar los resultados de su juego (hasta que se le acabe el dinero para seguir jugando, de haberlo), el matemático computará probabilidades según las cartas que él lleva, las vistas en la baza y las que quedan por salir –muchos de estos hay por ahí, lo que quita gracia a este juego– y el último supondrá los naipes que llevan todos los demás, por sui géneris reglas de probabilidad que tienen un error “controlado”, y jugará a la “¡megagüentó!” con la copa de pacharán y “la” faria, si es que no ha tenido tiempo de colocar cámaras por el local.

    Has olvidado mencionar otro tipo de juego, que consiste en conseguir un número redondo en la última mano, anticipando cuántas bazas han de fallarse para llegar, por ejemplo, a los doscientos puntos. Ahora que no me lee nadie, diré que denota maestría en el juego y cualidades de adaptación a las nuevas circunstancias (si el triunfo es oros o no, la cosa cambia, y hay que responder rápido, que las pochas de cinco son céleres casi siempre).

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