¿Qué pasa si no somos “mano” y no llevamos triunfo?

Que nuestro “éxito” o “fracaso” dependen de la carta que saque la mano.

Ver archivo con todas las posibilidades

Explicación

Imaginemos que tengo el tres de bastos, y que pintan espadas.

¿Cuál es la probabilidad de que me lleve la baza?

Se tienen que cumplir dos cosas:

• Que la mano lleve bastos más pequeños que el mío (desde el cuatro hasta el rey). Llamaré a este suceso “A”
• Que ninguno de los otros jugadores lleve triunfo o el basto que me fastidia. Suceso “B”.

Probabilidad (ganar) = P(A) · P(B)

Calculamos P(A) como

dado que hay 7 cartas que la mano puede tener y me benefician (todas las cartas de bastos menos el tres que está en mi mano y el as que me gana) y hay 34 cartas para repartir.
Después de esto, quedan 33 cartas para repartir entre 3 personas (la mano y yo estamos ya servidos).

De estas cartas, sólo 24 me “benefician”. Si alguno de los participantes cogiera un triunfo (hay 9) o el as de bastos, él me ganaría la baza.

36 - 1 (tres de bastos) - 1 (basto de la mano) - 1 (as de bastos) - 9 (triunfos) = 24

Un vistazo a la hoja con todos los resultados esperados nos indica que no es buena idea pedir la baza si no voy de mano y no llevo triunfo, por más que lleve un as.

De hecho, si recordáis la entrada anterior, ni siquiera era recomendable pedir la baza con un as y siendo mano: aún será menos recomendable si tú no eres el primero en salir.

La pocha es un juego de naipes en el que se trata de adivinar cuántas bazas te vas a hacer y se juega con las mismas normas que el tute.

Si aciertas el número de bazas que vas a ganar, sumas una cantidad fija de 10 puntos más 5 puntos adicionales por cada una de las bazas.

Si por el contrario fallas en tu predicción, pierdes 5 puntos por cada baza de más o de menos que hayas hecho.

En las primeras rondas del juego, sólo se reparte una carta a cada uno de los jugadores.

Siempre he pensado que uno de mis amigos “hacía cosas muy raras” en esta fase determinada del juego, que se regía (en mi opinión) bastante por reglas de la probabilidad. Cuando se lo dije me dijo que la probabilidad había que calcularla, y que quizá no era tan fácil como yo me lo estaba planteando.

Dicho y hecho. Aquí estoy para tratar de calcular alguna probabilidad en esta fase en la que cada jugador tiene sólo una carta en la mano.

Probabilidad de ganar la baza con un as que no es del triunfo, y saliendo de mano

La situación no es cómoda. Se dan las cartas, y descubres que tú tienes un as y sales de mano. Nadie te puede ganar a menos que tengan un triunfo en la mano.

¿Apostarías a que haces esa baza?

En una partida de 5 jugadores (la más común en mi grupo de amigos) hay repartidas 5 cartas. Mi as, y otras cuatro. Además, hay un triunfo descubierto: “el pinte”.
¿Cuál es mi probabilidad de ganar? Para que yo gane, nadie tiene que tener un triunfo.

Número de cartas que no me importa que los demás tengan: 26

Son 3 palos enteros (los que no son triunfo) 9·3= 27 cartas menos una carta que no cuenta (mi as). En definitiva 27-1=26.

Número de personas que pueden repartirse estas cartas: 4 (los otros jugadores).

Casos favorables a mis intereses (ganar la baza): Son las variaciones de 26 elementos tomando 4.

Casos totales: Son las variaciones de 34 naipes (todos menos mi as y el triunfo que está descubierto) tomando 4.

O sea:

O sea, que teniendo el as de mano, únicamente ganaría la baza en un 32,24% de las ocasiones.

Mi intuición (fortalecida por la experiencia de las partidas que llevo acumuladas desde mis tiempos universitarios) me aconsejaba no apostar a que me haría una baza en esas circunstancias: ahora sé por qué es.

Nota: El cálculo de las variaciones se simplifica mucho con una hoja de cálculo. En concreto, con OpenOffice.org se puede utilizar la función PERMUT, que se puede usar para calcular permutaciones y variaciones (creo que sólo utilizamos el concepto Variación en nuestro país, los otros países utilizan el genérico de las Permutaciones y diferencian si entran en juego todos los elementos -nuestras permutaciones- o sólo algunos -nuestras variaciones-).

PERMUT
Returns the number of permutations for a given number of objects.
Syntax
PERMUT(Count_1; Count_2)
Count_1 is the total number of objects.
Count_2 is the number of objects in each permutation.

Probabilidad de ganar la baza con otra carta que no es del triunfo, y saliendo de mano

Si hemos visto que con el as no merecía la pena apostar a que gano la baza… todavía será peor para nuestros intereses aportar con una carta menor que el as. La probabilidad de éxito (ganar la baza) es también más pequeña.
Probabilidad de ganar con un cuatro del triunfo

Casos favorables: ¿Cuántas cartas no me importa que salgan? 27.
Son todas las de los tres palos que no son triunfos.

Casos totales: Hay 34 cartas para repartir entre los otros 4 (2 cartas ya están ocupadas, el pinte y el cuatro del triunfo que tengo yo).

Si quiero acertar, tendría que no pedir esa baza.

Probabilidad de ganar con un cinco del triunfo, y el triunfo no es el 4

En este caso, el no me importa que salgan 28 cartas (las 27 de los tres palos que no son triunfo y el 4 del triunfo).

¿Tendría que pedir esa baza en este caso?

La respuesta en este caso, como casi siempre en el juego, el amor la guerra y la empresa es que DEPENDE.

¿Qué es lo que importa de verdad? ¿Acertar?

¡No para mí!

Lo importante es ¡GANAR! ¡Sumar puntos!

¡LA PASTA!

¿Cuál es el “valor esperado” para mí de esta baza?

Si apuesto que hago baza y acierto, gano 15 puntos. Esto se da en un 44% de las ocasiones.
Si apuesto a que la hago y fallo, pierdo 5 puntos. Esto ocurre en un 56% de las ocasiones.
Si apuesto que no la hago (pido cero bazas) y por mala suerte me la llevo (44%) pierdo 5 puntos.
Por último, si no pido esa baza y no me la llevo (56%) gano 10 puntos.

O sea, si pido, podría esperar una media de:

V(apostar) = 15·0,4415 + (-5)·(1-0,4415) = 3,83 puntos
y si no pido:

V(no apostar) = -5·0,4415 + 10·(1-0,4415) = 3,38 puntos
Conclusión: Como el valor de “apostar” es mayor que el de “no apostar”, me conviene pedirme esta baza. Aunque fallaré más veces que las que acierte, saldré ganando (de media) en el número de puntos que aumente mi casillero.

Más combinaciones
¿Todavía tienes ganas de más después de haber llegado hasta aquí? Ningún problema, la hoja de cálculo trabaja por nosotros. Pego aquí un listado con todas las combinaciones posibles (siendo mano o llevando triunfo) con sus respectivas probabilidades de “hacer baza” y su “valoración en puntos”.

También se recogen las probabilidades cuando la pocha es de 4, 6 ó 7 personas en lugar de 5 jugadores.

probabilidad_pocha.pdf

Recordad que hemos hecho los cálculos sólo con los datos que vemos encima de la mesa. Si alguno de los compañeros resopla, hay tres que piden una determinada baza o todos dicen “No me la hago ni de coña”, nos están dando muchas más pistas que nos ayudarán a afinar nuestra apuesta.

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Supongo que habrás respondido que sí a esta pregunta. Si tu respuesta ha sido “no”, hay dos posiblidades:

a) Conoces a poca gente

b) Eres un tío al que le pasan cosas raras

Una conversación con mi hermano menor, que ha empezado recientemente Ingeniería Informática, me recordó este problema que resolvimos en Matemáticas III.

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de K personas, haya dos que cumplan años el mismo día? ¿Apostarías una ronda de cervezas a que en un grupo pasa esto? ¿Apostarías a que no pasa?

Este problema no es muy complicado de resolver si entendemos el “mecanismo” del juego.

Utilizaremos un poco de combinatoria y dos reglas sencillas que estudiamos la primera vez que nos explicaron qué es eso de la probabilidad.

En lo referente a probabilidad, utilizaremos la definición clásica de Laplace que nos decía que, para sucesos equiprobables, la probabilidad de un suceso determinado A es:

Por otro, sabemos que la probabilidad de que “no se cumpla A” (la probabilidad del suceso contrario) es

En nuestro caso concreto de los cumpleaños, es mucho más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario. A partir de este, llegaremos al que buscábamos.

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de K personas, ninguna cumpla años el mismo día?

Casos favorables: Todas las formas diferentes de asignar K cumpleaños a K personas tal que las K personas cumplan años en días diferentes

Casos posibles: Todas las formas diferentes de asignar K cumpleaños a K personas.

Casos favorables

Por simplicidad conceptual vamos a imaginar que tengo un saco de “fechas de cumpleaños” y se los voy asignando a las personas. Mi saco tendrán 365 fechas escritas.

¿De cuántas formas soy capaz de asignar K cumpleaños diferentes a K personas?

Alguno ya habrá identificado esto con las “variaciones sin repetición” de combinatoria.

Para quien no haya identificado todavía el concepto de variación: Imaginad que tenéis una bolsa con 365 números escritos (uno por cada día del año) y que vais sacando números de 1 en 1 y se los vais dando a las K personas de una sala.

Cuando asigno una fecha de cumpleaños a una persona, no meteré su papel de nuevo en el saco porque no quiero que dos personas tengan la misma fecha.

Las variaciones son ordenaciones de un conjunto en las que “importa el orden”. En el caso concreto que nos ocupa, el “orden” sí importa.

Es cierto que me daría igual que Pepe cumpla años el 1 de Enero y Juan el 2 de Enero o que fuera Juan quien cumpliera años el 1 de Enero y Pepe el 2; pero estas son dos posibilidades que puedo obtener con dos asignaciones diferentes y, por tanto, tengo que contar las dos.

Casos posibles

Continuando con el símil de la bolsa de los números, imaginad que después de asignar un número a cada persona, volviéramos a meter la papeleta en la bolsa del sorteo, de forma que también le pueda tocar (por qué no) esa fecha a la siguiente persona.

Esto es lo que pasa en la realidad. Que una persona haya “ocupado” una fecha de cumpleaños, no le impide a otra nacer el mismo día.

Vemos que el número de casos posibles es el número de variaciones con repetición de 365 elementos (cada una de las fechas del calendario) de los cuales tomo K (uno por persona).

Recordando que:

también que

y que

entonces

donde P(A) es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día.

En una hoja de cálculo he pegado los resultados de esta probabilidad en función del número K de personas del grupo. Los resultados pueden sorprender a más de uno:

K P(coincidir)
1 0,00000000
2 0,00273973
3 0,00820417
4 0,01635591
5 0,02713557
6 0,04046248
7 0,05623570
8 0,07433529
9 0,09462383
10 0,11694818
11 0,14114138
12 0,16702479
13 0,19441028
14 0,22310251
15 0,25290132
16 0,28360401
17 0,31500767
18 0,34691142
19 0,37911853
20 0,41143838
21 0,44368834
22 0,47569531
23 0,50729723
24 0,53834426
25 0,56869970
26 0,59824082
27 0,62685928
28 0,65446147
29 0,68096854
30 0,70631624
31 0,73045463
32 0,75334753
33 0,77497185
34 0,79531686
35 0,81438324
36 0,83218211
37 0,84873401
38 0,86406782
39 0,87821966
40 0,89123181
41 0,90315161
42 0,91403047
43 0,92392286
44 0,93288537
45 0,94097590
46 0,94825284
47 0,95477440
48 0,96059797
49 0,96577961
50 0,97037358
60 0,99412266
70 0,99915958
80 0,99991433
90 0,99999385
100 0,99999969

O sea, que a partir de que un grupo tiene 23 personas, ya hay más probabilidad de que dos cumplan años el mismo día de la probabilidad de que todos cumplan años en un día diferente.

Si el grupo es de 40 personas, la probabilidad de que les ganes la cerveza se eleva al 90%. Si tu grupo de amigos o conocido es numeroso, digamos de 60 personas, con un 99% de probabilidad dos cumplirán años el mismo día.

Si conoces a 120 personas, la probabilidad sube a 99 seguido de ¡seis nueves más!

Veámoslo en un gráfico. En el eje de las x vemos el tamaño del grupo de personas, y en el de las y la probabilidad de que dos personas al menos cumplan años el mismo día:

Volviendo a lo que decía al inicio de esta entrada: si no conoces a dos personas que cumplan años el mismo día, conoces a poca gente o eres un caso extraño de la naturaleza.

Fe de errores (o imprecisiones)

Evidentemente, esta exposición tiene alguna imperfección. No admitiré reclamaciones por apuestas perdidas

La primera de ellas: Hay años bisiestos, lo que complica un poco el cálculo de probabilidades. Podríamos haber hecho el cáculo con años de 366 días, pero tampoco sería exacto.

El error más importante de todos: Para aplicar la regla de Laplace, los sucesos tienen que ser equiprobables, cosa que no ocurre en este caso.
No todos los días del año son igual de probables para que la gente cumpla años. Los encargos de Navidad se recogen en septiembre, los encargos de las vacaciones se recogen en Abril, etc. (fijáos en vuestro grupo de amigos y veréis que lo que digo es cierto). Estoy seguro de que hay estudios sobre esta materia y me encantaría echarles un vistazo, pero eso sería ya objeto de otro tema.

Supongo que parte de la “culpa” la tiene el hecho de que conservo a mi familia más directa, de que no tengo a nadie a quien añorar profundamente (excepción hecha de mis abuelos) y de que los seres humanos somos incapaces de echar de menos aquello de lo que nunca hemos carecido.

Quién sabe, dentro de unos años quizá cambie de nuevo mi forma de pensar y este tiempo pase de ser un tiempo “no especial” a ser un tiempo “especialmente odiado”.

Por el momento me contento con odiar a los Reyes Magos, pero eso es otra historia.

Al revés que muchos establecimientos, este blog está “abierto por vacaciones”.

¡Un año! Más de un millón y trescientos mil segundos treinta y un millones y medio de segundos.

¿Cuántas cosas pueden pasar en un año? ¿Cuántas han pasado en este último?

Muchísimas, a la vista de lo que dice la Wikipedia (Junio 2006 - Junio 2007).

¿Cómo o cuánto has cambiado tú en un año?

A mí por lo menos se me ha pasado volando.

El día que haga un blog, se va a cagar la perrita…

Bueno, todos conocemos la animadversión que siento hacia cómo se ejerce (como la presión) la profesión periodística. Cuando ya nos habíamos acostumbrado a oír la palabra “patera” y había formado parte de nuestro vocabulario habitual, algún iluminado ha empezado a utilizar “cayuco”; y todos detrás, como borregos. ¿Alguien sabe la diferencia entre ambos o qué les hace utilizar a los defensores de la libertad una u otra?

Como decía un profesor mío: “cuando no sepáis la fórmula particular, idos a la definición general y obtenedla”. He aquí estas definiciones generales:

patera
cayuco

A esto hay que añadirle “chapapote“, “pandemia“, cargos públicos que “son cesados” y las tres mejores: “la violencia de género”, “ciudadanas y ciudadanos, vascas y vascos” y “tont@s”.

Venga: +1 troll.

Al revés majo: +1 inspirado

Ya veis: tanto tiempo esperando para colocar unas palabritas en la red y resulta que lo primero lo único que se me ocurre es poner una tontería.

Empezamos bien…

En fin, que esto empieza como una prueba de wordpress y que nadie sabe a ciencia cierta cómo terminará.